Property 16
\(\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f(x)\,dx=f(h(x))\cdot h'(x)-f(g(x))\cdot g'(x)\)
Proof
\(\boxed{\begin{gathered}\displaystyle\int f(x)\,dx=G(x)+c\\G'(x)=f(x)\end{gathered}}\)
\(\begin{aligned}\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{g(x)}^{h(x)}f(x)\,dx&=\samefrac d{dx}\left(\left.G(x)\right|_{g(x)}^{h(x)}\right)\\&=\samefrac d{dx}(G(h(x))-G(g(x)))\\&=G'(h(x))\cdot h'(x)-G'(g(x))\cdot g'(x)\\&=f(h(x))\cdot h'(x)-f(g(x))\cdot g'(x)\end{aligned}\)
1.
\(\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{1}^{5} \left(\samefrac{x\cdot\cos x}{x+1}\right)\,dx=?\)
2.
\(\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{4}^{x} \left(\samefrac{4x+1}{x-3}\right)\,dx=?\)
3.
\(\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{1}^{x^2} (x^3)\,dx=?\)
4.
\(\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{x}^{x^3} (x^2+1)\,dx=?\)
5.
\(\samefrac d{dx}\displaystyle\int\limits_{2}^{x} (e^{x^2})\,dx=?\)
6.
\(f(x)=\displaystyle\int\limits_{x}^{x^3} (x^2-x)\,dx\)
\(\Rightarrow f'(1)=?\)
7.
\(f(x)=\displaystyle\int\limits_{x^2}^{x^3-1} (4x+3)\,dx\)
\(\Rightarrow\left.\samefrac{df(x)}{dx}\right|_{x=1}=?\)