Property 23
Rule of L'Hospital
\(\lim\limits_{x\to a}\samefrac{f(x)}{g(x)}=\samefrac{0}{0}\quad\text{or}\)
\(\lim\limits_{x\to a}\samefrac{f(x)}{g(x)}=\samefrac\infty\infty\)
\(\Rightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to a}\samefrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\samefrac{f'(x)}{g'(x)}}\)
1.
\(f(x)=\sqrt{12x+1}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(h+4)-f(4)}{h}=?\)
2.
\(f'(2)=4\sqrt2\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(2+h)-f(2-3h)}{8h}=?\)
3.
\(f(x)=x^3-6x^2+14\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(h+3)-f(3)}{h}=?\)
4.
\(f(x)=e^{x^2}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(h+2)-f(2)}{2h}=?\)
5.
\(f(x)=\tan x\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f\left(\samefrac\pi6+h\right)-f\left(\samefrac\pi6\right)}{h}=?\)
6.
\(f(x)=\ln(x^2-x^3)\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(h-1)-f(-2h-1)}{2h}=?\)
7.
\(f(x)=\samefrac1{3x+1}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f\left(h+\samefrac{1}{2}\right)-f\left(\samefrac{1}{2}\right)}{2h}=?\)
8.
\(f(x)=\sqrt x+4x\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(4-h)-f(4-2h)}{h}=?\)
9.
\(f(x)=x^2-3x+1\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{h\to0}\samefrac{f(h+2)-f(2h+2)}{h}=?\)
10.
\(\lim\limits_{x\to3}\samefrac{x^2-9}{x-3}=?\)