Property 10
Infinite Expressions
\(\blacksquare\quad\sqrt{a\cdot\sqrt{a\cdot\sqrt{a\cdot\ldots}}}=a\)
\(\blacksquare\quad\sqrt[n]{a\cdot\sqrt[n]{a\cdot\sqrt[n]{a\cdot\ldots}}}=\sqrt[n-1]{a}\)
\(\blacksquare\quad\sqrt[n]{a:\sqrt[n]{a:\sqrt[n]{a:\ldots}}}=\sqrt[n+1]{a}\)
Let a = n(n + 1)
\(\blacksquare\quad\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}}=n+1\)
\(\blacksquare\quad\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}}=\samefrac{\sqrt{4a+1}+1}2\)
Let a = n(n + 1)
\(\blacksquare\quad\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a-\ldots}}}=n\)
\(\blacksquare\quad\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a-\ldots}}}=\samefrac{\sqrt{4a+1}-1}2\)
1.
\(\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdot\sqrt{3\cdot\ldots}}}=?\)
2.
\(\sqrt[3]{64\cdot\sqrt[3]{64\cdot\sqrt[3]{64\cdot\ldots}}}=?\)
3.
\(\sqrt{125:\sqrt{125:\sqrt{125:\sqrt{125:\ldots}}}}=?\)
4.
\(\sqrt{72+\sqrt{72+\sqrt{72+\ldots}}}=?\)
5.
\(\sqrt{42-\sqrt{42-\sqrt{42-\ldots}}}=?\)
6.
\(\samefrac{\sqrt[4]{8\cdot\sqrt[4]{8\cdot\sqrt[4]{8\cdot\ldots}}}}{\sqrt{8:\sqrt{8:\sqrt{8:\ldots}}}}=?\)
7.
\(\samefrac{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\ldots}}}}}=?\)
8.
\(\samefrac{\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\ldots}}}}{\sqrt{6-\sqrt{6-\sqrt{6-\ldots}}}}=?\)
9.
\(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}=6\)
\(\Rightarrow x=?\)
10.
\(\sqrt{2\cdot\sqrt{5\cdot\sqrt{2\cdot\sqrt{5\cdot\ldots}}}}=?\)
11.
\(\sqrt[3]{3\sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt{2\ldots}}}}=?\)
12.
\(\sqrt{a+\sqrt{1+\sqrt{a+\sqrt{1+\ldots}}}}=2\)
\(\Rightarrow a=?\)
13.
\(\sqrt{x+\sqrt{2+\sqrt{x+\sqrt{2+\ldots}}}}=2\)
\(\Rightarrow x=?\)
14.
\(\sqrt{5+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\ldots}}}}=?\)
15.
\(\sqrt{5-\sqrt{11+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\ldots}}}}}=?\)