Property 1
\(1+2+3+\cdots+n=\samefrac{n(n+1)}2\)
\(2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)\)
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\samefrac{n(n+1)(2n+1)}6\)
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\samefrac{n(n+1)}2\right]^2\)
\(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)=\samefrac{n(n+1)(n+2)}3\)
\(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots+n(n!)=(n+1)!-1\)
\(1+r+r^2+\cdots+r^n=\samefrac{r^{n+1}-1}{r-1}=\samefrac{1-r^{n+1}}{1-r}\)
1.
\(1+2+3+\cdots+30=?\)
2.
\(2+4+6+\cdots+50=?\)
3.
\(1+3+5+\cdots+39=?\)
4.
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2=?\)
5.
\(1^3+2^3+3^3+\cdots+19^3=?\)
6.
\(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+20\cdot21=?\)
7.
\(1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots+27\cdot27!=?\)
8.
\(1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{10}=?\)
9.
\(5+6+7+8+\cdots+40=?\)
10.
\(4^2+5^2+6^2+\cdots+20^2=?\)
11.
\(3^3+4^3+5^3+\cdots+20^3=?\)
12.
\(1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{20}=?\)