Property 14
\(z=a+ib\)
\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\tan\theta=\samefrac ba\)
\(\operatorname{Arg}(z)=\theta\)
\(\cos\theta=\samefrac ar,\ \sin\theta=\samefrac br\)
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\operatorname{cis}\theta\)
1.
\(z=1+i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
2.
\(z=1-\sqrt3i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
3.
\(z=-\samefrac{\sqrt3}2-\samefrac i2\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
4.
\(z=-\sqrt3+i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
5.
\(z=-4-4i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
6.
\(z=5\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
7.
\(z=2i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
8.
\(z=-4i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
9.
\(z=-3\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
10.
\(z=\sqrt3-i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
11.
\(z=2-2i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
12.
\(z=-3-\sqrt3i\)
\(z=r\operatorname{cis}\theta\)
\(\Rightarrow z=?\)
Property 15
\(z=r\operatorname{cis}\theta,\ w=k\operatorname{cis}\beta\)
\(zw=rk\operatorname{cis}(\theta+\beta)\)
\(\samefrac zw=\samefrac rk\operatorname{cis}(\theta-\beta)\)
\(z^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)\) (De Moivre)
The \(n\)-th roots are \(r^{1/n}\operatorname{cis}\samefrac{\theta+2k\pi}{n}\), \(k=0,1,\ldots,n-1\).
1.
\(z_1=2\operatorname{cis}40^\circ\)
\(z_2=3\operatorname{cis}20^\circ\)
\(\Rightarrow z_1z_2=?\)
2.
\(z_1=4\operatorname{cis}\samefrac\pi4\)
\(z_2=2\operatorname{cis}\samefrac\pi6\)
\(\Rightarrow\operatorname{Arg}(z_1/z_2)=?\)
3.
\(z_1=8(\cos75^\circ+i\sin75^\circ)\)
\(z_2=2(\cos15^\circ+i\sin15^\circ)\)
\(\Rightarrow\samefrac{z_1}{z_2}=?\)
4.
\(z=3\operatorname{cis}20^\circ\)
\(\Rightarrow z^3=?\)
5.
\(z_1=2\operatorname{cis}20^\circ\)
\(z_2=3\operatorname{cis}10^\circ\)
\(\Rightarrow z_1^2z_2=?\)
6.
\(z_1=2\operatorname{cis}5^\circ\)
\(z_2=\operatorname{cis}10^\circ\)
\(\Rightarrow z_1^3z_2^3=?\)
7.
\(z=3(\cos15^\circ+i\sin15^\circ)\)
\(\Rightarrow z^{10}=?\)
8.
\(z=2(\cos10^\circ+i\sin10^\circ)\)
\(\Rightarrow z^{18}=?\)
9.
\(z=4\operatorname{cis}300^\circ\)
\(\sqrt z=?\)
10.
\(z=4i\)
\(\sqrt z=?\)
11.
\(z=2\sqrt3-2i\)
\(\sqrt z=?\)
12.
\(z=27\operatorname{cis}120^\circ\)
\(\sqrt[3]z=?\)
13.
\(z=4\sqrt3+4i\)
\(\sqrt[3]z=?\)
14.
\(z=\cos60^\circ-i\sin60^\circ\)
\(\sqrt[3]z=?\)
15.
\(z=\cos40^\circ+i\sin40^\circ\)
\(\sqrt[4]z=?\)