Property 9
For equations containing \(z\) and \(\overline z\), let \(z=a+ib\) and \(\overline z=a-ib\), then use equality of real and imaginary parts.
1.
\(2z+\overline z=3+i\)
\(\Rightarrow z=?\)
2.
\((2-i)z+\overline z=5-3i\)
\(\Rightarrow z=?\)
3.
\((1+i)\overline z-3=z-i-2\)
\(\Rightarrow z=?\)
4.
\(3iz-\overline z=-6+2i\)
\(\Rightarrow\overline z=?\)
5.
\(z+4=10-\overline z\)
\(\Rightarrow\operatorname{Re}(z)=?\)
6.
\(2z+\overline z=6+3i\)
\(\Rightarrow z=?\)
7.
\((1-i)\overline z=z+1\)
\(\Rightarrow z=?\)
Property 10
\(i^1=i\)
\(i^2=-1\)
\(i^3=-i\)
\(i^4=1\)
Powers of \(i\) repeat every four exponents.
1.
\(i^{25}=?\)
2.
\(i^{-46}=?\)
3.
\(i^{68}+i^{66}=?\)
4.
\(\samefrac{i^{45}-i^{46}}{i^{10}}=?\)
5.
\(a\in\mathbb Z\)
\(i^{12a-13}=?\)
6.
\(i+i^2+i^3+\cdots+i^{50}=?\)
7.
\(i\cdot i^2\cdot i^3\cdots i^{26}=?\)
8.
\(i-i^2+i^3-i^4+i^5+\cdots-i^{44}=?\)
Property 11
\(z=a+ib\Rightarrow|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(|z|\ge0\)
\(|z|=|\overline z|=|-z|=|-\overline z|\)
\(|zw|=|z||w|\)
\(\left|\samefrac zw\right|=\samefrac{|z|}{|w|}\)
\(|z^n|=|z|^n\)
\(|z+w|\le|z|+|w|\)
1.
\(z=3-2i\)
\(|z|=?\)
2.
\(\overline z=1-2i\)
\(|z|=?\)
3.
\(z=(1-2i)(1+3i)\)
\(|z|=?\)
4.
\(z=\samefrac{3-4i}{6+8i}\)
\(|z|=?\)
5.
\(z=\samefrac{(2+4i)(3-4i)}{1-i}\)
\(|z|=?\)
6.
\(\overline z=\samefrac{(1-2i)(3-2i)}{2+i}\)
\(|z|=?\)
7.
\(z=\samefrac{(1+3i)(2-i)}{\sqrt6+2i}\)
\(|z|=?\)
8.
\(z=(1+i)^{10}\)
\(|z|=?\)
9.
\(z=\samefrac{(5-12i)(6+8i)}{4-3i}\)
\(|z|=?\)
10.
\(|z|+z=8+4i\)
\(\Rightarrow z=?\)