Property 16
Inverse Trigonometrical Function
Arccosinus
\(f(x):[0,\pi]\longrightarrow[-1,1]\)
\(f(x)=\cos x\)
\(f^{-1}(x):[-1,1]\longrightarrow[0,\pi]\)
\(f^{-1}(x)=\arccos x\)
Example
\(\arccos\left(\samefrac12\right)=60^\circ=\samefrac\pi3\)
\(\arccos(1)=0\)
\(\arccos\left(-\samefrac12\right)=120^\circ=\samefrac{2\pi}3\)
\(\arccos\left(\samefrac1{\sqrt2}\right)=\samefrac\pi4\)
\(\arccos\left(\samefrac{\sqrt3}2\right)=\samefrac\pi6\)
\(\arccos\left(-\samefrac{\sqrt3}2\right)=\samefrac{5\pi}6\)
\(\arccos(2)=\varnothing\)
Arcsinus
\(f(x):\left[-\samefrac\pi2,\samefrac\pi2\right]\longrightarrow[-1,1]\)
\(f(x)=\sin x\)
\(f^{-1}(x):[-1,1]\longrightarrow\left[-\samefrac\pi2,\samefrac\pi2\right]\)
\(f^{-1}(x)=\arcsin x\)
Example
\(\arcsin\left(\samefrac12\right)=\samefrac\pi6\)
\(\arcsin\left(-\samefrac12\right)=-\samefrac\pi6\)
\(\arcsin\left(\samefrac{\sqrt3}2\right)=\samefrac\pi3\)
\(\arcsin\left(-\samefrac{\sqrt3}2\right)=-\samefrac\pi3\)
\(\arcsin(1)=\samefrac\pi2\)
Arctangent
\(f(x):\left(-\samefrac\pi2,\samefrac\pi2\right)\longrightarrow\mathbb R\)
\(f(x)=\tan x\)
\(f^{-1}(x):\mathbb R\longrightarrow\left(-\samefrac\pi2,\samefrac\pi2\right)\)
\(f^{-1}(x)=\arctan x\)
Example
\(\arctan(1)=\samefrac\pi4\)
\(\arctan(\sqrt3)=\samefrac\pi3\)
\(\arctan(-1)=-\samefrac\pi4\)
\(\arctan\left(-\samefrac1{\sqrt3}\right)=-\samefrac\pi6\)
Arccotangent
\(f(x):(0,\pi)\longrightarrow\mathbb R\)
\(f(x)=\cot x\)
\(f^{-1}(x):\mathbb R\longrightarrow(0,\pi)\)
\(f^{-1}(x)=\operatorname{arccot} x\)
Example
\(\operatorname{arccot}(1)=\samefrac\pi4\)
\(\operatorname{arccot}(-1)=135^\circ=\samefrac{3\pi}4\)
\(\operatorname{arccot}(0)=\samefrac\pi2\)
Note
\((f\circ f^{-1})(x)=x\)
\(\sin(\arcsin(x))=x\)
\(\arctan(\tan(x))=x\)
1.
\(\arcsin(1)=x\)
\(\Rightarrow x=?\)
2.
\(\arccos\left(-\samefrac{\sqrt2}{2}\right)=x\)
\(\Rightarrow x=?\)
3.
\(\arctan(-\sqrt3)=x\)
\(\Rightarrow x=?\)
4.
\(\tan(\arctan 7)=?\)
5.
\(\arcsin\left(\sin\samefrac\pi5\right)=?\)
6.
\(\cos\left(\arcsin\samefrac35\right)=x\)
\(\Rightarrow x=?\)
7.
\(\tan\left(\operatorname{arccot}\samefrac12\right)=x\)
\(\Rightarrow x=?\)
8.
\(\sin(\arctan3)=?\)
9.
\(\cos\left(\arcsin\samefrac12+\arctan\sqrt3\right)=?\)
10.
\(\sin\left(\samefrac\pi2+\arctan\samefrac5{12}\right)=?\)